📋 章节概览
本章学习平面坐标几何的基本概念，包括中点、圆的方程和图形绘制。这些内容将几何问题转化为代数问题来解决。
2.1 中点和垂直平分线 (Midpoints and Perpendicular Bisectors)
核心概念
• 中点：线段的中点坐标
• 垂直平分线：过中点且垂直于线段的直线
重要公式
$$\text{中点坐标：} M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
$$\text{距离公式：} d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
解题技巧
• 利用中点公式求坐标
• 利用斜率关系求垂直平分线
• 注意符号和计算准确性
2.2 圆的方程 (Equation of a Circle)
核心概念
• 标准方程：(x - h)² + (y - k)² = r²
• 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
重要公式
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$
圆心：(h, k)，半径：r
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$
圆心：(-D/2, -E/2)，半径：√(D²/4 + E²/4 - F)
解题技巧
• 识别圆心和半径
• 配方法化为标准方程
• 注意半径必须为正
2.3 直线与圆的交点 (Intersections of Straight Lines and Circles)
核心概念
• 交点：直线与圆的公共点
• 判别式：判断交点个数
重要公式
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
• Δ > 0：两个交点
• Δ = 0：一个交点（相切）
• Δ < 0：无交点
解题技巧
• 联立方程组求解
• 利用判别式判断位置关系
• 注意特殊情况
2.4 因式定理 (Factor Theorem)
核心概念
• 因式定理：如果P(a) = 0，则(x - a)是P(x)的因式
• 零点：使多项式值为零的x值
重要公式
$$(x - a) \text{ 是 } P(x) \text{ 的因式} \Leftrightarrow P(a) = 0$$
解题技巧
• 寻找可能的零点
• 用因式定理验证
• 结合长除法分解
2.5 绘制图形 (Sketching Graphs)
核心概念
• 函数图像：函数的几何表示
• 关键点：零点、极值点、拐点
绘图步骤
1. 确定定义域
2. 求零点
3. 求极值点
4. 分析单调性
5. 绘制图像
解题技巧
• 先分析函数性质
• 标出关键点
• 注意渐近线
⚠️ 常见错误
1. 中点计算
• 坐标顺序错误
• 符号计算错误
• 忘记除以2
2. 圆的方程
• 圆心坐标符号错误
• 半径计算错误
• 配方法步骤遗漏
3. 交点计算
• 判别式计算错误
• 解方程组错误
• 忽略特殊情况
📝 学习建议
1. 基础练习
• 熟练掌握中点公式
• 练习圆的方程转换
• 理解判别式的意义
2. 进阶应用
• 结合实际问题
• 学习参数方程
• 培养几何直觉
3. 复习重点
• 重点掌握圆的方程
• 熟练计算交点
• 注意计算的准确性